Onje Creation: Tugas Fisika Dasar 1: Rangkuman

ROTASI BENDA TEGAR

A. Persamaan Gerak Rotasi

Untuk mendeskripsikan gerak rotasi, digunakan besaran-besaran yang sama dengan besaran-besaran pada gerak melingkar. Besaran-besaran itu di antaranya adalah kecepatan linier dan kecepatan sudut. Pada gerak translasi, kita memiliki beberapa persamaan penting yang menghubungkan percepatan, kecepatan dan jarak untuk situasi percepatan linier beraturan. Persamaan-persamaan tersebut diturunkan dari definisi kecepatan dan percepatan linier dengan menganggap percepatan konstan. Definisi kecepatan sudut dan percepatan sudut sama dengan kecepatan dan percepatan linier, kecuali bahwa q menggantikan perpindahan linier x, w menggantikan v, dan a menggantikan a. Dengan demikian, persamaan-persamaan sudut untuk percepatan sudut konstan akan analog dengan beberapa persamaan gerak linier. Tabel 1 menunjukkan beberapa persamaan gerak rotasi yang analog dengan persamaan gerak translasi

Tabel 1. Persamaan-Persamaan Sudut

B. Momen Gaya

Pada gerak rotasi, sebuah benda hanya dapat berubah geraknya dari diam menjadi berputar jika pada benda itu diterapkan sebuah gaya. Perubahan gerak pada gerak rotasi berupa perubahan kecepatan sudut. Perubahan gerak rotasi terjadi karena adanya “gaya pemutar” yang disebut dengan momen gaya (torsi).

Seperti yang telah jelaskan di atas, bahwa untuk membuat sebuah benda mulai berotasi sekitar sumbu, jelas diperlukan gaya. Tetapi arah gaya ini, dan dimana diberikannya merupakan hal yang penting. Pada Gambar 1 menunjukkan sebuah pintu yang dilihat dari atas. Jika gaya F1 dan gaya F2 diberikan tegak lurus terhadap pintu, maka makin besar nilaiF1 makin cepat pula pintu terbuka (diasumsikan jika gesekan pada engsel diabaikan). Jika diasumsikan F2 = F1, tetapi jaraknya lebih dekat ke engsel, maka pintu tidak terbuka sedemikian cepat karena efek gaya lebih kecil.

Lengan gaya didefinisikan sebagai jarak tegak lurus sumbu rotasi ke garis kerja gaya, yaitu jarak yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi dan garis imajiner yang ditarik sepanjang arah gaya. Jelas bahwa gaya yang diberikan dengan suatu sudut seperti F3 (Gambar 2) akan lebih tidak efektif daripada gaya dengan besar yang sama yang diberikan lurus seperti F1 (Gambar 2.a). Jika ujung pintu didorong sedemikian rupa sehingga gaya diarahkan pada engsel (sumbu rotasi), sebagaimana ditunjukkan oleh gaya F4, maka pintu tidak akan berotasi sama sekali.

Lengan gaya untuk gaya F3 ditemukan dengan cara menarik garis sepanjang arah gaya F3 (garis kerja F3). Kemudian garis lain digambarkan tegak lurus terhadapnya, dan menuju sumbu. Panjang garis kedua ini merupakan lengan gaya untuk F3 dan disebut sebagai r3 (Gambar 2.b). Lengan gaya tegak lurus terhadap garis kerja gaya dan di ujung yang lainnya tegak lurus terhadap sumbu rotasi.

Besar torsi didefinisikan sebagai hasil kali gaya dengan lengan gaya. Jika r_⊥ adalah lengan gaya dan tanda tegak lurus (⊥) mengingatkan bahwa kita harus menggunakan jarak dari sumbu rotasi yang tegak lurus terhadap garis kerja gaya (Gambar 3.a). Maka secara umum torsi dapat dituliskan :

t = r_^F

Gambar 3. Momen Gaya (Torsi)

Komponen F_II tidak memberikan torsi karena diarahkan ke sumbu rotasi (lengan momennya adalah nol). Dengan demikian torsi akan sama dengan F_^ dikalikan jarak r dari sumbu ke titik dimana gaya diberikan :

t = rF_^

Dapat dilihat dari kenyataan bahwa F_^ = F sin q dan r = r_^ sin q (dimana q adalah sudut antara arah F dan r). Jadi rumus di atas dapat dinyatakan sebagai :

t = rF sin q

Contoh 1 :

Otot bisep memberikan gaya ke atas pada lengan bawah sebagaimana ditunjukkan Gambar (a) dan (b). Untuk masing-masing kasus, hitung torsi sekitar sumbu rotasi melalui sendi siku, dengan menganggap bahwa otot melekat 5 cm dari siku sebagaimana ditunjukkan gambar.

Pembahasan :

Untuk gambar (a) :

F = 700 N

r_^ = 0,05 m

Sehingga diperoleh,

t = r_^F = (0,05 m)(700 N) = 35 m.N

Sehingga diperoleh,

Untuk gambar (b), karena lengan membentuk sudut, maka lengan gaya lebih pendek :

r_^ = (0,05 m) sin 60⁰

Sedangkan F tetap 700 N. Maka diperoleh :

t = (0,05 m) sin60^o (700 N) = 30 m.N

C. Momen Inersia

Pada gerak translasi, massa dijadikan ukuran kelembaman benda (inersia) yaitu ukuran yang menyatakan tanggapan benda terhadap perubahan pada keadaan geraknya. Jika massa benda besar, maka benda sukar dipercepat atau sukar diubah geraknya, tetapi sebaliknya jika massa benda kecil, maka benda mudah dipercepat atau mudah diubah geraknya.

Pada gerak rotasi besaran yang analog dengan massa adalah momen inersia. Dengan demikian momen inersia merupakan ukuran kelembaman benda yang berotasi atau berputar pada sumbu putarnya. Momen inersia (I) dari sebuah partikel bermassa m didefinisikan sebagai :

I = mr²

Dari persamaan di atas dapat dikatakan bahwa besar momen inersia sebuah partikel sebanding dengan massa partikel itu dan sebanding dengan kuadrat jarak partikel ke sumbu putarnya. Sebuah benda tegar disusun oleh banyak partikel yang terpisah satu dengan yang lain. Maka momen inersia sebuah benda terhadap suatu sumbu putar dapat dipandang sebagai jumlah aljabar momen-momen inersia partikel-partikel penyusunnya. Jika massa partikel-partikel penyusun itu adalah m₁, m₂, m₃, ….. dan jarak masing-masing partikel terhadap sumbu putarnya adalah r₁, r₂, r₃ …. Maka momen inersia benda terhadap sumbu tersebut adalah :

Iåmr² = m₁r₁² + m₁r₁² + ...

Tabel 2. Momen Inersia Beberapa Benda

Jika sebuah partikel dengan massa m berotasi membentuk lingkaran dengan radius r dari ujung sebuah tali yang massanya diabaikan. Anggap gaya F bekerja pada partikel tersebut. Maka torsi yang mengakibatkan percepatan sudut adalah t = rF . Jika dikaitkan dengan Hukum II Newton
F = ma_t, dimana a_tan = ra, maka diperoleh :

D. Energi Kinetik Rotasi

Jika nilai ½ mv² merupakan energi kinetik benda yang mengalami gerak translasi, maka benda yang berotasi pada sebuah sumbu dikatakan memiliki energi kinetik rotasi yang dapat diturunkan dari energi kinetik translasi. Dengan mendefinisikan bahwa v = rw dan mr²= I, maka diperoleh:

E_{K Rotasi} = ½ m(rw²) = ½ mrw² = Iw²

Jika sebuah benda bergerak translasi sambil berotasi (menggelinding), maka benda itu akan memiliki total energi kinetik yang sama dengan jumlah energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasinya.

E_{K Total} = E_{K Translasi} + E_{K Rotasi} = ½ mv² + ½ Iw²

Usaha yang dilakukan t yang tetap dalam memutar benda sebanyak q adalah :

W = tq

Sedangkan daya yang dikeluarkan t pada benda adalah :

W = tw

Contoh 2 :

Berapa laju bola padat dengan massa M dan radius R ketika mencapai kaki bidang miring jika mulai dari keadaan diam pada ketinggian vertikal H dan menggelinding ke bawah tanpa selip?

Pembahasan :

Gunakan Hukum kekekalan energi dengan memperhitungkan energi kinetik rotasi. Energi total pada tiap titik dengan jarak y di atas dasar bidang miring adalah :

E_Total = ½ Mv² + ½ Iw² + Mgy

Jika pada posisi puncak bidang miring diketahui y = H dan v = w = 0, sedangkan pada posisi dasar bidang miring diketahui y = 0, maka energi totalnya :

E_{Tot Awal} = E_Tot
Akhir

½ Mv₁² + ½ Iw₁² + MgH₁ = ½ Mv₂² + ½ Iw₂² + MgH₂

0 + 0 + MgH = ½ Mv₂² + ½ Iw₂² + 0

Dari persamaan di atas tampak bahwa nilai v tidak bergantung pada massa M maupun radius R dari bola tersebut.

E. Momentum Sudut

Momentum sudut (L) untuk benda yang berotasi didefinisikan sebagai kuantitas atau ukuran gerak rotasi (kekuatan dari putaran). Karena pada gerak rotasi momen inersia (I) merupakan analogi dari massa (m) suatu benda dan kecepatan sudut (w) pada gerak rotasi analogi dengan kecepatan linier (v) pada gerak translasi, maka momentum sudut dinyatakan :

L = Iw

Satuan momentum sudut (L) yaitu kg.m²/s dan arahnya searah dengan arah putaran atau rotasinya.

Hukum kekekalan momentum sudut untuk benda yang berotasi menyatakan bahwa “momentum sudut total pada benda yang berotasi tetap konstan jika torsi total yang bekerja padanya sama dengan nol”. Pada gerak translasi berlaku Hukum II Newton, sebagai berikut :